设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．

admin2017-09-15 48

问题设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：A^TA的特征值全大于零．

选项

答案首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)＝n，对任意的X＞0， X^T(A^TA)X＝(AX)^T(AX)，令AX＝α，因为r(A)＝n，所以α≠0，所以(AX)^T(AX)＝α^Tα＝｜α｜²＞0，即二次型X^T(A^TA)X是正定二次型，A^TA为正定矩阵，所以A^TA的特征值全大于零．

解析

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考研数学二

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