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设y=y(x)是区间(—π,π)内过的光滑曲线,当—π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
设y=y(x)是区间(—π,π)内过的光滑曲线,当—π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
admin
2017-01-21
45
问题
设y=y(x)是区间(—π,π)内过
的光滑曲线,当—π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
选项
答案
由题意,当—π<x <0时,法线均过原点,所以有y=[*],即ydy=—xdx,得y
2
=—x
2
+C。 又[*] 代入y
2
=一x
2
+C得C=π
2
,从而有x
2
+y
2
=π
2
。 当0≤x<π时,y"+y+x=0,得其对应齐次微分方程y"+y=0的通解为 y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx 设其特解为y
1
=Ax+B,则有0+Ax+B+x=0,得A=—1,B=0,故y
1
=—x是方程的特解,因此y"+y+x=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx—x。 因为y=y(x)是(—π,π)内的光滑曲线,故y在x=0处连续且可导,所以由已知得 y |
x=0
=π,y’|
x=0
=0, 故得C
1
=π,C
2
=1,所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/h1H4777K
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考研数学三
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