2. 考研
  3. 设y=y（x）是区间（—π，π）内过的光滑曲线，当—π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。

设y=y（x）是区间（—π，π）内过的光滑曲线，当—π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。

admin2017-01-21  48
问题 设y=y（x）是区间（—π，π）内过的光滑曲线，当—π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。
选项
答案由题意，当—π＜x ＜0时，法线均过原点，所以有y=[*]，即ydy=—xdx，得y2=—x2+C。 又[*] 代入y2=一x2+C得C=π2，从而有x2+y2=π2。 当0≤x＜π时，y"+y+x=0，得其对应齐次微分方程y"+y=0的通解为 y*=C1cosx+C2sinx 设其特解为y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=—1，B=0，故y1=—x是方程的特解，因此y"+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx—x。 因为y=y（x）是（—π，π）内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y |x=0=π，y’|x=0=0， 故得C1=π，C2=1，所以 [*]
解析
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考研数学三

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