2. 考研
  3. 已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数： D＝D(p)＝，S＝S(p)＝bp， 其中a＞0，b＞0为常数；价格P是时间t的函数，且满足方程 ＝k[D(p)一S(p)] (k为正常数)． ① 假设当t＝0时，价格为1．试求： (1)需求量等于供

已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数： D＝D(p)＝，S＝S(p)＝bp， 其中a＞0，b＞0为常数；价格P是时间t的函数，且满足方程 ＝k[D(p)一S(p)] (k为正常数)． ① 假设当t＝0时，价格为1．试求： (1)需求量等于供

admin2016-01-25  33
问题 已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：
D＝D(p)＝，S＝S(p)＝bp，
其中a＞0，b＞0为常数；价格P是时间t的函数，且满足方程
＝k[D(p)一S(p)]  (k为正常数)．    ①
假设当t＝0时，价格为1．试求：
(1)需求量等于供给时量时的均衡价格Pe；
(2)价格函数p(t)；
(3)极限p(t)．
选项
答案(1)令D(p)＝S(p)，解得均衡价格pe＝[*]． (2)由于[*] 即 [*] 这可化为一阶线性微分方程： [*] 即 [*]＋3kbp3＝3kbpe， 则 p3＝e－∫3kbdt(∫e∫3kbdt3kbpedt＋C)＝e－3kbdt(e3kbdt.pe＋C)． 由t＝0时，p＝1，得到C＝1一pe，则有 p3(t)＝[pe＋(1一pe)e－3kbdt]， 即 p(t)＝[pe＋(1一pe)e－3kbdt[*]． (3)[*]
解析 为求价格函数p(t)需解微分方程①．此方程为一阶方程，可按通解公式求其解，然后再求出其极限．
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考研数学三

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