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已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数: D=D(p)=,S=S(p)=bp, 其中a>0,b>0为常数;价格P是时间t的函数,且满足方程 =k[D(p)一S(p)] (k为正常数). ① 假设当t=0时,价格为1.试求: (1)需求量等于供
已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数: D=D(p)=,S=S(p)=bp, 其中a>0,b>0为常数;价格P是时间t的函数,且满足方程 =k[D(p)一S(p)] (k为正常数). ① 假设当t=0时,价格为1.试求: (1)需求量等于供
admin
2016-01-25
67
问题
已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数:
D=D(p)=
,S=S(p)=bp,
其中a>0,b>0为常数;价格P是时间t的函数,且满足方程
=k[D(p)一S(p)] (k为正常数). ①
假设当t=0时,价格为1.试求:
(1)需求量等于供给时量时的均衡价格P
e
;
(2)价格函数p(t);
(3)极限
p(t).
选项
答案
(1)令D(p)=S(p),解得均衡价格p
e
=[*]. (2)由于[*] 即 [*] 这可化为一阶线性微分方程: [*] 即 [*]+3kbp
3
=3kbp
e
, 则 p
3
=e
-∫3kbdt
(∫e
∫3kbdt
3kbp
e
dt+C)=e
-3kbdt
(e
3kbdt
.p
e
+C). 由t=0时,p=1,得到C=1一p
e
,则有 p
3
(t)=[p
e
+(1一p
e
)e
-3kbdt
], 即 p(t)=[p
e
+(1一p
e
)e
-3kbdt
[*]. (3)[*]
解析
为求价格函数p(t)需解微分方程①.此方程为一阶方程,可按通解公式求其解,然后再求出其极限.
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考研数学三
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