已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数： D＝D(p)＝，S＝S(p)＝bp，其中a＞0，b＞0为常数；价格P是时间t的函数，且满足方程＝k[D(p)一S(p)] (k为正常数)． ① 假设当t＝0时，价格为1．试求： (1)需求量等于供

admin2016-01-25 94

问题已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：
D＝D(p)＝

，S＝S(p)＝bp，
其中a＞0，b＞0为常数；价格P是时间t的函数，且满足方程

＝k[D(p)一S(p)] (k为正常数)． ①
假设当t＝0时，价格为1．试求：
(1)需求量等于供给时量时的均衡价格P_e；
(2)价格函数p(t)；
(3)极限

p(t)．

选项

答案(1)令D(p)＝S(p)，解得均衡价格p_e＝[*]． (2)由于[*] 即 [*] 这可化为一阶线性微分方程： [*] 即 [*]＋3kbp³＝3kbp_e，则 p³＝e^－∫3kbdt(∫e^∫3kbdt3kbp_edt＋C)＝e^－3kbdt(e^3kbdt.p_e＋C)．由t＝0时，p＝1，得到C＝1一p_e，则有 p³(t)＝[p_e＋(1一p_e)e^－3kbdt]，即 p(t)＝[p_e＋(1一p_e)e^－3kbdt[*]． (3)[*]

解析为求价格函数p(t)需解微分方程①．此方程为一阶方程，可按通解公式求其解，然后再求出其极限．

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考研数学三

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