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设f(x)在区间[0,1]上可积,当0≤x<y≤1时,|f(x)一f(y)|≤|arctanx一arctany|,又f(1)=0,证明:|∫01f(x)dx|≤.
设f(x)在区间[0,1]上可积,当0≤x<y≤1时,|f(x)一f(y)|≤|arctanx一arctany|,又f(1)=0,证明:|∫01f(x)dx|≤.
admin
2016-09-30
52
问题
设f(x)在区间[0,1]上可积,当0≤x<y≤1时,|f(x)一f(y)|≤|arctanx一arctany|,又f(1)=0,证明:|∫
0
1
f(x)dx|≤
.
选项
答案
由|f(x)|=|f(x)一f(1)|=|arctanx一arctanl|=|arctanx一[*]|得 |∫
0
1
f(x)dx≤∫
0
1
|f(x)|dx≤∫
0
1
f(x)|arctanx一[*] [*]
解析
由f(x)∫
x
b
g(t)dt=g(x)∫
a
x
f(t)dt得g(x)∫
a
x
f(t)dt+f(x)∫
b
x
g(t)dt=0即
∫
a
x
f(t)dt∫
b
x
g(t)dt=0,则辅助函数为φ(x)=∫
a
x
f(t)dt∫
b
x
g(t)dt.
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考研数学三
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