设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是xx-a的n阶无穷小量．求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x-a的，n-1阶无穷小量．

admin2016-10-20 71

问题设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是xx-a的n阶无穷小量．求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x-a的，n-1阶无穷小量．

选项

答案由题设f(x)在x=a处n阶可导且[*]知，把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得 [*] 从而f(a)=f’(a)=f’’(a)=…=f^(n-1)(a)=0，f⁽ⁿ⁾(a)=n!A≠0．设g(x)=f’(x)，由题设知g(x)在x=a处，n-1阶可导，且 g(a)=f’(a)=0，g’(a)=f’’(a)=0，…，g^(n-2)(a)=f^(n-1)(a)=0， g^(n-1)(a)=f⁽ⁿ⁾(a)=n!A≠0．由此可得f’(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式为 [*] 故f’(x)当x→a时是x-a的n-1阶无穷小量．

解析

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考研数学三

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