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  3. 已知函数f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求f(x)dx的值．

已知函数f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求f(x)dx的值．

admin2016-11-21  24
问题 已知函数f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求f(x)dx的值．
选项
答案令x－t=u，有－dt=du．当t=0时，u=x；当t=x时，u=0． ∫0xtf(x－t)dt=∫x0(x－u)f(u).(－du) =∫0x(x－u)f(u)du =x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du =1－cosx 两边对x求导，得∫0xf(u)du+xf(x)－xf(x)=sinx， 即∫0xf(u)du=sinx． 令x=[*]=1．
解析
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