2. 考研
  3. 设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+＞εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．

设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+＞εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．

admin2016-02-27  61
问题 设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+＞εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．
选项
答案只需证明A+rE及E+εA的特征根全部大于0即可． 证 (1)显然E+εA为实对称矩阵．设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则E+εA的特征根为1+ελ1，1+ελ2，…，1+ελn． 因A为实对称矩阵，故λ1，λ2，…，λn为实数．当ε充分小时，可使1+ελ1，1+ελ2，…，1+ελn全部都大于0，故E+εA为正定矩阵． (2)设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则A+rE的特征值为λ1+r，λ2+r，…，λn+r．因r＞0，且r充分大时，也可使λ1+r，λ2+r，…，λn+r全部大于0，因而A+rE也为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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