求y’’－4y’+5y=e2x(sinx+cosx)的通解．

admin2019-03-06 56

问题求y^’’－4y^’+5y=e^2x(sinx+cosx)的通解．

选项

答案原方程对应的齐次方程的特征方程为，r²—4r+5=0，解得r=2±i，所以对应的齐次方程的解为[*]=(C₁sinx+C₂cosx)e^2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故设原方程的特解为y=xe^2x(Asinx+Bcosx)，则 Y^’=e^2x(Asinx+Bcosx)+xe^2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]， Y^’’=e^2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe^2x[(3A一4B)sinx+(4A+3B)cosx]，代入原方程得 e^2x[(4A一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe^2x[(3A一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e^2x(Asinx+Bcosx)一4xe^2x[(2A—B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe^2x(Asinx+Bcosx)=e^2x(sinx+cosx)，解得[*]，故原方程的通解为 y=(C₁sinx+C₂cosx)e^2x+[*](sinx一cosx)．其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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