设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

admin2023-02-21 28

问题设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

选项 A、A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆
B、r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜n
C、AX＝0与BX＝0同解的充分必要条件是r(A)＝r(B)
D、A～B的充分必要条件是λE－A～λE－B

答案D

解析若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P^－1AP＝B，
于是P^－1(XE－A)P＝λE－P^－1AP＝λE－B，即λE－A～λE－B；反之，若λE－A～λE－B，即存在可逆矩阵P，使得P^－1(AE－A)P＝AE－B，
整理得λE－P^－1AP＝λE－B，即P^－1AP＝B，即A～B，应选(D)．

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考研数学一

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