设A为n阶矩阵,A11≠0.证明:非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

admin2022-11-07  32

问题 设A为n阶矩阵,A11≠0.证明:非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

选项

答案设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解,则r(A)<n,从而|A|=0,于是A*b=A*AX=|A|X=0.反之,设A*b=0,因为b≠0,所以方程组A*X=0有非零解,从而r(A*)<n,又A11≠0,所以r(A*)=1,且r(A)=n-1.因为r(A*)=1,所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量,而A*A=0,所以A的列向量组α1,α2,…,αn为方程组A*X=0的一组解向量.由A11≠0,得α2,…,αn线性无关,所以α2,…,αn是方程组A*X=0的基础解系.因为A*b=0,所以b可由α2,…,αn线性表示,也可由α1,α2,…,αn线性表示,故r(A)=r(A)=n-1<n,即方程组AX=b有无穷多个解.

解析
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