试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件还是必要条件. (1)二元函数的极限存在; (2)二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有界; (3) (4)F(x)=f(x,y0)在点x0处可微,G(y)=f

admin2015-07-22  62

问题 试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件还是必要条件.
(1)二元函数的极限存在;
(2)二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有界;
(3)
(4)F(x)=f(x,y0)在点x0处可微,G(y)=f(x0,y)在点y0处可微;
(5)
(6)

选项

答案结论(1)~(4)中每一个分别都是z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微的必要条件,而非充分条件.而结论(5)是其既非充分也非必要条件,结论(δ)是其充分非必要条件. 因z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微,故z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,即 [*]=f(x0,y0),则极限[*]必存在,于是z=f(x,y)在点P0(x0,y0)某邻域内有界. 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x,y0)在x0处连续,G(y)=f(x0,y)在y0处连续,它是二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续的必要条件,而非充分条件.而z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续又是其可微的必要条件,且非充分条件. 只要在z=f(x,y)在P0(x0,y0)的全微分定义△z=A△x+B△y+ο(ρ),ρ=[*]中取特殊情况,分别令△y=0与△x=0即证得结论(4).结论(5)的[*][f’x(x,y0)一f’x(x0,y0)]=0 表示偏导函数f’x(x,y)在y=y0时的一元函数f’x(x,y0) 在x0处连续,它仅是二元偏导函数f’x(x,y)在P0(x0,y0)处连续的一个必要条件,对[*][f’y(x0,y)一f’y(x0,y0)]=0 有类似的结果. 而z=f(x,y)在P0(x0,y0)处可微又是f’x(x,y), f’y(x,y)在P0(x0,y0)处连续的另一个必要条件,所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件. 结论(6)的等价形式是△z=f(x,y)一f(x0,y0)=ο(ρ), [*] 它是相应全微分定义中A=0,B=0的情形,则结论(6)是其可微的充分非必要条件.

解析
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