设A是n*n常数矩阵(n>1),X是由未知数X1、X2、…、Xn组成的列向量,B是由常数b1、b2、…、bn组成的列向量,线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是______。 A.A的秩等于n B.A的秩不等于0 C.A的行列式值不等于0 D.A存在

admin2021-01-13  33

问题 设A是n*n常数矩阵(n>1),X是由未知数X1、X2、…、Xn组成的列向量,B是由常数b1、b2、…、bn组成的列向量,线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是______。
A.A的秩等于n
B.A的秩不等于0
C.A的行列式值不等于0
D.A存在逆矩阵

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 本题考查线性代数的基础知识。
   矩阵概念来源于求解线性方程组。有了矩阵概念后,线性方程组就可以用非常简略的形式AX=B来描述。A就是线性方程组的系数矩阵。矩阵的加法来源于两个线性方程组分别相加;矩阵乘法来源于线性方程组变量的线性变换。
   推导线性方程组的求解公式时可以发现,解的公式表示中,分母就是系数矩阵A的行列式。因此,该线性方程组有唯一解的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
   推导矩阵A的逆矩阵公式时,其分母也是矩阵A的行列式。因此,矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
   线性方程组有唯一解的充分必要条件是这几个方程是线性无关的,或线性独立的(不能由其中几个方程导出其他某个方程)。方程少、未知数多时,线性方程组将不会有唯一解。系数矩阵A的秩就是其中线性方程组中线性无关的方程个数。如果A的秩等于行列数n,即满秩,那这些方程就是线性独立的,或线性无关的(不能互相推导出来的)。这种线性方程组就有唯一解。如果A的秩小于行列数n,即不满秩,那这些方程就不是线性独立的,其中有些方程是可以从其他方程推导出来的,因此,该线性方程组就不会有唯一解。反之亦然。
   因此,线性方程组AX=B有唯一解,等价于矩阵A有逆矩阵,也等价于矩阵A的行列式不为0,也等价于矩阵A的秩为n(满秩)。
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