设p(x)在区间[0,+∞)上连续且为负值.y=y(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内满足y’+p(x)y>0且y(0)≥0,求证:y(x)在[0,+∞)单调增加.

admin2018-06-14  24

问题 设p(x)在区间[0,+∞)上连续且为负值.y=y(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内满足y’+p(x)y>0且y(0)≥0,求证:y(x)在[0,+∞)单调增加.

选项

答案因y’+p(x)y>0[*][y’+p(x)y]>0 [*] 设F(x)=y(x)[*],则F’(x)>0当x>0时成立,故F(x)当x≥0时单调增加,即[*]x>0 有 F(x)>F(0)=y(0)≥0[*]x>0). 设x2>x1≥0,由F(x)单调增加→F(x2)>F(x1) [*] 由于y(x1)>0,[*]>y(x1),代入即得 y(x2)>y(x1) ([*]x2>x1≥0). 这表明y(x)当x≥0时单调增加.

解析
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