设p(x)在区间[0，+∞)上连续且为负值．y=y(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内满足y’+p(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．

admin2018-06-14 25

问题设p(x)在区间[0，+∞)上连续且为负值．y=y(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内满足y’+p(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．

选项

答案因y’+p(x)y＞0[*][y’+p(x)y]＞0 [*] 设F(x)=y(x)[*]，则F’(x)＞0当x＞0时成立，故F(x)当x≥0时单调增加，即[*]x＞0 有 F(x)＞F(0)=y(0)≥0[*]x＞0)．设x₂＞x₁≥0，由F(x)单调增加→F(x₂)＞F(x₁) [*] 由于y(x₁)＞0，[*]＞y(x₁)，代入即得 y(x₂)＞y(x₁) ([*]x₂＞x₁≥0)．这表明y(x)当x≥0时单调增加．

解析

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