设f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值为__________．

admin2021-05-19 20

问题设f(x)=xe^x，则f⁽ⁿ⁾(x)的极小值为__________．

选项

答案-(1/e⁽ⁿ⁺¹⁾)

解析 f(x)=xe^x，
               f⁽ⁿ⁾(x)=(n+x)e^x，
               f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(n+1+x)e^x，
            f⁽ⁿ⁺²⁾(x)=(n+2+x)e^x，
令f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0，解得f⁽ⁿ⁾(x)的驻点x=-(n+1)，
又f⁽ⁿ⁺²⁾[-(n+1)]=[n+2-(n+1)]e^-(n+1)=e^-(n+1)＞0，
故x=-(n+1)为f⁽ⁿ⁾(x)的极小值点，f⁽ⁿ⁾[-(n+1)]=-(1/e⁽ⁿ⁺¹⁾)．

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