设矩阵A=，B=P-1AP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2016-05-31 35

问题设矩阵A=

，B=P^-1A^*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A^*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

选项

答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη=λη．由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0．又因A^*A=｜A｜E，故有A^*η=[*] 于是有 [*] 故A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=7．当λ₁=λ₂=1时，对应线性无关的两个特征向量可取为η₁=[*] 当λ₃=7时，对应的一个特征向量可取为η₃=[*] 由P^-1=[*] 因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为 k₁P^-1η₁+k₂P^-1η₂=k₁[*]，其中k₁，k₂是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为 k₃P^-1η₃=k₃[*]，其中k₃是不为零的任意常数．

解析

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考研数学三

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设矩阵A=，B=P-1AP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

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