设矩阵A=,B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

admin2016-05-31  22

问题 设矩阵A=,B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

选项

答案设A的特征值为λ,对应特征向量为η,则有Aη=λη.由于|A|=7≠0,所以λ≠0. 又因A*A=|A|E,故有A*η=[*] 于是有 [*] 故A的特征值为λ12=1,λ3=7. 当λ12=1时,对应线性无关的两个特征向量可取为η1=[*] 当λ3=7时,对应的一个特征向量可取为η3=[*] 由P-1=[*] 因此,B+2E的三个特征值分别为9,9,3. 对应于特征值9的全部特征向量为 k1P-1η1+k2P-1η2=k1[*],其中k1,k2是不全为零的任意常数; 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P-1η3=k3[*],其中k3是不为零的任意常数.

解析
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