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  3. 设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．

设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．

admin2016-10-20  60
问题 设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．
选项
答案A的特征多项式 [*] =(λ-2)[λ2+(3-a)λ-(3a+20)]， 由于判别式(3-a)2+4(3a+20)=0没有实数根，即λ2+(3-a)λ-(3a+20)≠(λ-k)2，所以只能λ=2是重根．于是λ2+(3-a)λ-(3a+20)必有λ-2的因式，因此由 22+2(3-a)-(3a+20)=0，得a=-2． 从而得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=-7． 对于λ=2，由(2E-A)x=0，即[*] 得到线性无关的特征向量α1=(-2，1，0)T，α2=(2，0，1)T．用Schmidt正交化方法，先正交化，有 [*] 再将β1，β2单位化，得 [*] 对于λ=-7，由(-7E-A)x=0，即[*] 得特征向量α3=(1，2，-2)T，单位化为[*] 那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]
解析 因为Q是正交矩阵，有QT=Q-1，故QTAQ=A，即Q-1AQ=A．为此，应当求矩阵A的特征向量．
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考研数学三

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