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设矩阵A=的特征值有重根,试求正交矩阵Q,使QTAQ为对角形.
设矩阵A=的特征值有重根,试求正交矩阵Q,使QTAQ为对角形.
admin
2016-10-20
97
问题
设矩阵A=
的特征值有重根,试求正交矩阵Q,使Q
T
AQ为对角形.
选项
答案
A的特征多项式 [*] =(λ-2)[λ
2
+(3-a)λ-(3a+20)], 由于判别式(3-a)
2
+4(3a+20)=0没有实数根,即λ
2
+(3-a)λ-(3a+20)≠(λ-k)
2
,所以只能λ=2是重根.于是λ
2
+(3-a)λ-(3a+20)必有λ-2的因式,因此由 22+2(3-a)-(3a+20)=0,得a=-2. 从而得到矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-7. 对于λ=2,由(2E-A)x=0,即[*] 得到线性无关的特征向量α
1
=(-2,1,0)
T
,α
2
=(2,0,1)
T
.用Schmidt正交化方法,先正交化,有 [*] 再将β
1
,β
2
单位化,得 [*] 对于λ=-7,由(-7E-A)x=0,即[*] 得特征向量α
3
=(1,2,-2)
T
,单位化为[*] 那么,令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*]
解析
因为Q是正交矩阵,有Q
T
=Q
-1
,故Q
T
AQ=A,即Q
-1
AQ=A.为此,应当求矩阵A的特征向量.
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考研数学三
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