设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．

admin2016-10-20 62

问题设矩阵A=

的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角形．

选项

答案A的特征多项式 [*] =(λ-2)[λ²+(3-a)λ-(3a+20)]，由于判别式(3-a)²+4(3a+20)=0没有实数根，即λ²+(3-a)λ-(3a+20)≠(λ-k)²，所以只能λ=2是重根．于是λ²+(3-a)λ-(3a+20)必有λ-2的因式，因此由 22+2(3-a)-(3a+20)=0，得a=-2．从而得到矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=2，λ₃=-7．对于λ=2，由(2E-A)x=0，即[*] 得到线性无关的特征向量α₁=(-2，1，0)^T，α₂=(2，0，1)^T．用Schmidt正交化方法，先正交化，有 [*] 再将β₁，β₂单位化，得 [*] 对于λ=-7，由(-7E-A)x=0，即[*] 得特征向量α₃=(1，2，-2)^T，单位化为[*] 那么，令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]

解析因为Q是正交矩阵，有Q^T=Q^-1，故Q^TAQ=A，即Q^-1AQ=A．为此，应当求矩阵A的特征向量．

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考研数学三

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