设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明： f在R上连续；

admin2022-10-31 56

问题设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明：
f在R上连续；

选项

答案由f(x+y)=f(x)+f(y)可知f(0+0)=2f(0)，于是f(0)=0．由f在x=0连续可得[*]f(x)=f(0)=0，并且对一切x₀∈R． [*]=0+f(x₀)=f(x₀)，故f在R上连续．

解析

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