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  3. 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数的极小值点． 是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数的极小值点． 是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

admin2016-01-05  13
问题 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数的极小值点．
是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
选项
答案存在a，使数列{an}是等比数列． 事实上，由②知，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an，即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a.3n-1． 而要使3an＞n2，即a.3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需[*]对一切n∈N*都成立． 记[*]，则[*] 令[*]，则[*]．因此，当x≥2时，y’＜0，从而函数[*]在[2，+∞)上单调递减．故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为[*]．于是当[*]时，必有[*]．这说明，当[*]时，数列{an}是等比数列． 当[*]时，可得[*]．而3a2=4=22，由③知，f2(x)无极值，不合题意． 当[*]时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列． 当[*]时，3a=1=12，由③知，f1(x)无极值，不合题意． 当[*]时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，…数列{an}不是等比数列． 综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为[*]．
解析
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