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数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数的极小值点. 是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数的极小值点. 是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
admin
2016-01-05
24
问题
数列{a
n
}(n∈N
*
)中,a
1
=a,a
n+1
是函数
的极小值点.
是否存在a,使数列{a
n
}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
选项
答案
存在a,使数列{a
n
}是等比数列. 事实上,由②知,若对任意的n,都有3a
n
>n
2
,则a
n+1
=3a
n
,即数列{a
n
}是首项为a,公比为3的等比数列,且a
n
=a.3
n-1
. 而要使3a
n
>n
2
,即a.3
n
>n
2
对一切n∈N
*
都成立,只需[*]对一切n∈N
*
都成立. 记[*],则[*] 令[*],则[*].因此,当x≥2时,y’<0,从而函数[*]在[2,+∞)上单调递减.故当n≥2时,数列{b
n
}单调递减,即数列{b
n
}中最大项为[*].于是当[*]时,必有[*].这说明,当[*]时,数列{a
n
}是等比数列. 当[*]时,可得[*].而3a
2
=4=2
2
,由③知,f
2
(x)无极值,不合题意. 当[*]时,可得a
1
=a,a
2
=3a,a
3
=4,a
4
=12,…,数列{a
n
}不是等比数列. 当[*]时,3a=1=1
2
,由③知,f
1
(x)无极值,不合题意. 当[*]时,可得a
1
=a,a
2
=1,a
3
=4,a
4
=12,…数列{a
n
}不是等比数列. 综上所述,存在a,使数列{a
n
}是等比数列,且a的取值范围为[*].
解析
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数学学科知识与教学能力
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