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  3. 设矩阵 利用(1)的结果，求矩阵E+A-1的特征值，其中E是3阶单位矩阵。

设矩阵 利用(1)的结果，求矩阵E+A-1的特征值，其中E是3阶单位矩阵。

admin2015-09-14  24
问题 设矩阵

利用(1)的结果，求矩阵E+A-1的特征值，其中E是3阶单位矩阵。
选项
答案[*]
解析 本题(1)求方阵的特征值，属于基本的计算题。为了便于求特征值，应注意利用行列式的性质化简|λE一A|，以便能够从中提出λ的一次式。本题(2)求方阵A-1的多项式f(A-1)=E+A-1(其中f(x)=1+x)的特征值，除了解答中提供的两种方法外，也可以利用下述的一般结论：设λ1，…，λn为n阶方阵B的全部特征值，f(x)=amxm+…+a1x+a0为一m次多项式，则f(λ1)，…，f(λn)为方阵f(B)=amBm+…+a1B+a0E的全部特征值。若λ为可逆方阵A的特征值，即存在非零列向量X，使AX=λX(由此可知必有λ≠0，否则λ=0，则Ax=0，两端左乘A-1，得X=0，这与X≠0矛盾)，丙端左乘A-1，得X=A-1X，两端同乘λ/1，得A-1X=λ1。
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考研数学三

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