设矩阵利用(1)的结果，求矩阵E+A-1的特征值，其中E是3阶单位矩阵。

admin2015-09-14 15

问题设矩阵

利用(1)的结果，求矩阵E+A^-1的特征值，其中E是3阶单位矩阵。

选项

答案[*]

解析本题(1)求方阵的特征值，属于基本的计算题。为了便于求特征值，应注意利用行列式的性质化简|λE一A|，以便能够从中提出λ的一次式。本题(2)求方阵A^-1的多项式f(A^-1)=E+A^-1(其中f(x)=1+x)的特征值，除了解答中提供的两种方法外，也可以利用下述的一般结论：设λ₁，…，λ_n为n阶方阵B的全部特征值，f(x)=a_mx^m+…+a₁x+a₀为一m次多项式，则f(λ₁)，…，f(λ_n)为方阵f(B)=a_mB^m+…+a₁B+a₀E的全部特征值。若λ为可逆方阵A的特征值，即存在非零列向量X，使AX=λX(由此可知必有λ≠0，否则λ=0，则Ax=0，两端左乘A^-1，得X=0，这与X≠0矛盾)，丙端左乘A^-1，得X=A^-1X，两端同乘λ/1，得A^-1X=λ₁。

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考研数学三

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