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设A是n阶证定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
设A是n阶证定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
admin
2014-03-11
61
问题
设A是n阶证定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
选项
答案
证法一 因为A是正定阵,故存在正交矩阵Q,使 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=A=[*] 其中λ
i
>0(i:1,2,…,n),λ
i
是A的特征值. 因此 Q
T
(A+E)Q=Q
T
AQ+Q
T
Q=A+E. 两端取行列式得 丨A+E丨=丨Q
T
丨丨 A+E丨丨 Q丨=丨Q
T
(A+E)Q丨=丨A+E丨=[*](λ
i
+1). 从而丨A+E丨>1. 证法二 设A的n个特征值是λ
1
,λ
2
,…,λ
n
.由于A是正定矩阵,故特征值全大于0. 因为A+E的特征值是λ
i
+1,λ
2
+1,…,λ
n
+1,它们全大于1,根据丨A丨=[*]λ
i
,知 丨A+E丨=[*](λ
i
+1)>1.
解析
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考研数学三
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