设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

admin2014-03-11 37

问题设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

选项

答案证法一因为A是正定阵，故存在正交矩阵Q，使 Q^TAQ=Q^-1AQ=A=[*] 其中λ_i＞0(i：1，2，…，n)，λ_i是A的特征值. 因此 Q^T(A+E)Q=Q^TAQ+Q^TQ=A+E．两端取行列式得丨A+E丨=丨Q^T丨丨 A+E丨丨 Q丨=丨Q^T(A+E)Q丨=丨A+E丨=[*](λ_i+1)．从而丨A+E丨>1．证法二设A的n个特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n．由于A是正定矩阵，故特征值全大于0．因为A+E的特征值是λ_i+1，λ₂+1，…，λ_n+1，它们全大于1，根据丨A丨=[*]λ_i，知丨A+E丨=[*](λ_i+1)>1．

解析

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