2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使 f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．

设f(x)在闭区间[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使 f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．

admin2018-03-30  66
问题 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0，证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使
    f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，有F’(x)=f(x)，F(0)=0，F(1)=0，又 0=∫01exf(x)dx=∫01exdF(x)=exF(x)｜01—∫01F(x)exdx =一∫01F(x)edx． 所以存在ξ∈(0，1)，使F(ξ)eξ=0．但eξ≠0，所以F(ξ)=0．由于已有 F(0)=0，F(1)=0， 所以根据罗尔定理知，存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使 F’(ξ1)=0，F’(ξ2)=0， 即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0，其中ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，证毕．
解析
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考研数学三

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