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  3. 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )

设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )

admin2018-04-14  31
问题 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1－x)+f(1)x，则在区间[0，1]上(    )
选项 A、当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)。
B、当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)。
C、当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)。
D、当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)。
答案D
解析 方法一：令F(x)=g(x)－f(x)=f(0)(1－x)+f(1)x－f(x)，则F(0)=F(1)=0，
且
F’(x)=－f(0)+f(1)－f’(z)，F"(z)=－f"(x)，
若f"(x)≥0，则F"(x)≤0，曲线F(x)在[0，1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)。故选D。
方法二：本题采用第一条思路更简便，首先将函数变形为
g(x)=[f(1)－f(0)]x+f(0)，
易知直线g(x)过曲线f(x)上的两个点(0，f(0))，(1，f(1))，则直线g(x)是曲线f(x)上的一条割线，当f"(z)≥0时，曲线f(x)为凹函数，连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方，故g(x)≥f(x)，故选D。
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考研数学二

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