设函数f(χ)(χ≥0)连续可导，且f(0)＝1．又已知曲线y＝f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积与曲线y＝f(χ)在[0，χ]上的一段弧长相等，求f(χ)．

admin2014-12-09 134

问题设函数f(χ)(χ≥0)连续可导，且f(0)＝1．又已知曲线y＝f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积与曲线y＝f(χ)在[0，χ]上的一段弧长相等，求f(χ)．

选项

答案曲线y＝f(φ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积为∫₀^χ；曲线y＝f(χ)在[0，π]上的一段弧长为[*]，根据题意得 [*]，两边对χ求导得｜f(χ)｜[*]或f²(χ)＝1＋f′²(χ)，则y′＝±[*]，解得 lnC(y＋[*])＝±χ，再由f(0)＝1得C＝1，所以y＋[*]＝e^±χ，解得y＝f(χ)＝[*]．

解析

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考研数学二

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设函数f(χ)(χ≥0)连续可导，且f(0)＝1．又已知曲线y＝f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积与曲线y＝f(χ)在[0，χ]上的一段弧长相等，求f(χ)．

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