2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

admin2016-06-27  20
问题 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．
选项
答案设 F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F’(x)=g(x)f’(x)-f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]． 由于x∈[0，1]时,f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减． 注意到 F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(1)g(1)， 而 ∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)f(t)|01一∫01f(t)g’(t)dt =f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt， 故F(1)=0． 因此x∈[0，1]时，F(x)≥F(1)=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．
解析
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考研数学三

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