2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，a]上严格递增且连续，f(0)=0，g(x)为f(x)的反函数，试证成立等式：∫0af(x)dx=∫0f(a)[a-g(x)]dx．

设f(x)在区间[0，a]上严格递增且连续，f(0)=0，g(x)为f(x)的反函数，试证成立等式：∫0af(x)dx=∫0f(a)[a-g(x)]dx．

admin2022-11-23  21
问题 设f(x)在区间[0，a]上严格递增且连续，f(0)=0，g(x)为f(x)的反函数，试证成立等式：∫0af(x)dx=∫0f(a)[a-g(x)]dx．
选项
答案设y=f(x)，则x=g(y)，注意到f(0)=0，故 ∫0af(x)dx=∫f(0)f(a)yd(g(y))=yg(y)｜f(0)f(a)-∫f(0)f(a)g(y)dy =f(a)g(f(a))-∫0f(a)g(y)dy=af(a)-∫0f(a)g(x)dx =∫0f(a)[a-g(x)]dx．
解析
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考研数学三

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