2. 公务员
  3. 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠分别是线段BC、B1C1的中点，P是线段AD的中点． (1)在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠分别是线段BC、B1C1的中点，P是线段AD的中点． (1)在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

admin2015-12-09  75
问题 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠分别是线段BC、B1C1的中点，P是线段AD的中点．
    (1)在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
    (2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A—A1M—N的余弦值．
选项
答案(1)如图所示，在平面ABC中，过点P作直线l∥BC，交AB于M，交AC于N． 因为l[*]面A1BC，BC[*]面A1BC， 所以l∥面A1BC． 因为在AABC中，AB＝AC，D是BC上的中点，则AD⊥BC， 故AD⊥l． 因为AA1⊥面ABC，直线l[*]面ABC， 所以AA1⊥l， 又因为AD∩AA1＝A，AD[*]面AA1D1D，AA1[*]面AA1D1D， 故直线l⊥面AA1D1D． [*] (2)连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过点E作EF⊥A1M，连接AF． 由(1)可得，MN⊥面AA1E，而MN[*]A1MN， 则面AA1E⊥面A1MN， 又因为AE⊥A1P，面AA1E∩面A1MN＝A1E，所以AE⊥面A1MN， 故EF是AF在面A1MN上的投影，则∠AFE是二面角A—A1M—N的平面角． 设AB＝AC＝2a，因为∠BAC＝120°，则AD＝AC.sin30°＝2a×[*]＝a， 因为AP＝[*]a，AA1＝a， 在RT△AA1P中，A1P＝[*]． 因为P是AD的中点，MN∥BC，则M是AB的中点， 所以在Rt△AA1M中，AM＝AA1＝A，A1M＝[*]a．AF＝[*]A， 在Rt△AFE中，sin∠AFE＝[*]， 所cos∠AFE＝[*]． 故二面角A—A1M—N的平面角的余弦值为[*]．
解析
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