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如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠分别是线段BC、B1C1的中点,P是线段AD的中点. (1)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠分别是线段BC、B1C1的中点,P是线段AD的中点. (1)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
admin
2015-12-09
63
问题
如图,在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,侧棱AA
1
⊥底面ABC,AB=AC=2AA
1
,∠分别是线段BC、B
1
C
1
的中点,P是线段AD的中点.
(1)在平面ABC内,试做出过点P与平面A
1
BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD
1
A
1
;
(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A—A
1
M—N的余弦值.
选项
答案
(1)如图所示,在平面ABC中,过点P作直线l∥BC,交AB于M,交AC于N. 因为l[*]面A
1
BC,BC[*]面A
1
BC, 所以l∥面A
1
BC. 因为在AABC中,AB=AC,D是BC上的中点,则AD⊥BC, 故AD⊥l. 因为AA
1
⊥面ABC,直线l[*]面ABC, 所以AA
1
⊥l, 又因为AD∩AA
1
=A,AD[*]面AA
1
D
1
D,AA
1
[*]面AA
1
D
1
D, 故直线l⊥面AA
1
D
1
D. [*] (2)连接A
1
P,过点A作AE⊥A
1
P于E,过点E作EF⊥A
1
M,连接AF. 由(1)可得,MN⊥面AA
1
E,而MN[*]A
1
MN, 则面AA
1
E⊥面A
1
MN, 又因为AE⊥A
1
P,面AA
1
E∩面A
1
MN=A
1
E,所以AE⊥面A
1
MN, 故EF是AF在面A
1
MN上的投影,则∠AFE是二面角A—A
1
M—N的平面角. 设AB=AC=2a,因为∠BAC=120°,则AD=AC.sin30°=2a×[*]=a, 因为AP=[*]a,AA
1
=a, 在RT△AA
1
P中,A
1
P=[*]. 因为P是AD的中点,MN∥BC,则M是AB的中点, 所以在Rt△AA
1
M中,AM=AA
1
=A,A
1
M=[*]a.AF=[*]A, 在Rt△AFE中,sin∠AFE=[*], 所cos∠AFE=[*]. 故二面角A—A
1
M—N的平面角的余弦值为[*].
解析
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