二阶微分方程y"+y=10e2x满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=____________·

admin2015-04-30 77

问题二阶微分方程y"+y=10e^2x满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=____________·

选项

答案2e^2x一2cosx一3sinx．

解析本题中微分方程的特征方程是λ²+1=0，特征根是λ=i与λ=一i，由方程的右端项10e^2x即知可设方程具有形式为y^*=Ae^2x的特解，从而方程通解的形式为
y=C₁cosx+C₂sinx+Ae^2x．
计算可得y"=一C₁cosx—C₂sinx+4Ae^2x．把y与y"代入方程就有y"+y=5Ae^2x．令5A=10即A=2即得方程的通解为y=C₁cosx+C₂sinx+2e^2x．
分别令y(0)=C₁+2=0与y’(0)=C₂+4=1又可确定常数C₁=一2，C₂=一3．故所求的特解是y=2e^2x一2cosx一3 sinx．

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