2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：A不可相似对角化．

admin2019-07-10  60
问题 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3．
(Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
选项
答案(Ⅰ)由Aα1＝α1得(A－E)α1＝0，由Aα2＝α1＋α2得(A－E)α2＝α1，由Aα3＝α2＋α3得(A－E)α3＝α2．令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0， 1) 两边左乘(A－E)得k2α1＋k3α2＝0， 2) 两边再左乘(A－E)得k3α1＝0，由α1≠0得k3＝0，代入2)得k2α1＝0，则k2＝0，再代入1)得k1α1＝0，从而k1＝0，于是α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1，α1＋α2，α2＋α3)得AP＝[*]从而p﹣1AP＝[*]＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)3＝0得A的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝1，E－B＝[*]，因为r(E－B)＝2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．
解析
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考研数学三

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