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设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0,若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3. (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0,若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3. (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
admin
2019-07-10
96
问题
设A是三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三维列向量且α
1
≠0,若Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
.
(Ⅰ)证明:向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)证明:A不可相似对角化.
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
得(A-E)α
1
=0,由Aα
2
=α
1
+α
2
得(A-E)α
2
=α
1
,由Aα
3
=α
2
+α
3
得(A-E)α
3
=α
2
.令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, 1) 两边左乘(A-E)得k
2
α
1
+k
3
α
2
=0, 2) 两边再左乘(A-E)得k
3
α
1
=0,由α
1
≠0得k
3
=0,代入2)得k
2
α
1
=0,则k
2
=0,再代入1)得k
1
α
1
=0,从而k
1
=0,于是α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),由(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)得AP=[*]从而p
﹣1
AP=[*]=B.由|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)
3
=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1,E-B=[*],因为r(E-B)=2,所以B只有一个线性无关的特征向量,即B不可相似对角化,而A~B,故A不可相似对角化.
解析
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考研数学三
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