2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α1，α2，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．

设A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α1，α2，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．

admin2020-03-01  59
问题 设A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α1，α2，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是(    )．
选项 A、α1＋α3
B、3α3－α1
C、α1＋2α2＋3α3
D、2α1－3α2
答案D
解析 因为AX＝0有非零解，所以r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1＋α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1＋α3)＝λ(α1＋α3)，注意到
    A(α1＋α3)＝0α1－2α3＝－2α3，故－2α3＝λ0(α1＋α3)或λ0α1＋(λ0＋2)α3＝0，
    因为α1，α3线性无关，所以有λ0＝0，λ0＋2＝0，矛盾，故α1＋α3不是特征向量，同理可证
    3α3－α1及α1＋2α2＋3α3也不是特征向量，显然2α1－3α2为特征值0对应的特征向量，选D．
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考研数学二

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