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设A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α1，α2，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．
设A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α1，α2，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．
admin
2020-03-01
51
问题
设A为三阶矩阵，方程组AX＝0的基础解系为α
1
，α
2
，又λ＝－2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α
3
，下列向量中是A的特征向量的是( )．
选项
A、α
1
＋α
3
B、3α
3
－α
1
C、α
1
＋2α
2
＋3α
3
D、2α
1
－3α
2
答案
D
解析
因为AX＝0有非零解，所以r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α
1
，α
2
为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α
1
＋α
3
为属于特征值λ
0
的特征向量，则有A(α
1
＋α
3
)＝λ(α
1
＋α
3
)，注意到
A(α
1
＋α
3
)＝0α
1
－2α
3
＝－2α
3
，故－2α
3
＝λ
0
(α
1
＋α
3
)或λ
0
α
1
＋(λ
0
＋2)α
3
＝0，
因为α
1
，α
3
线性无关，所以有λ
0
＝0，λ
0
＋2＝0，矛盾，故α
1
＋α
3
不是特征向量，同理可证
3α
3
－α
1
及α
1
＋2α
2
＋3α
3
也不是特征向量，显然2α
1
－3α
2
为特征值0对应的特征向量，选D．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kjA4777K
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考研数学二
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