(2008年试题，23)设A为三阶矩阵α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求-1PAP．

admin2019-03-08 84

问题 (2008年试题，23)设A为三阶矩阵α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃，(I)证明α₁，α₂，α₃线性无关；(Ⅱ)令P=(α₁，α₂，α₃)，求^-1PAP．

选项

答案(I)假α₁，α₂，α₃线性相关，则α₃可由α₁,α₂线性表出，可设α₃=k₃α₁+k₂α₂其中后k₁，k₂不全为0，否则由等式Aα₃=α₂+α₃得到α₂=0，不符合题设．因为α₁，α₂为矩阵A的分别属于特征值一1，1的特征向量，所以α₁，α₂相互独立，且有Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，则A％=A(k₁α₁+k₂α₂)=一k₁α₁+k₂α₂=α₂+k₁α₁+k₂α₂．又α₁，α₂相互独立，等式中α₁，α₂的对应系数相等，即[*]显然此方程组无解．故假设不成立，从而可知α₁，α₂，α₃线性无关．(Ⅱ)因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以矩阵P=(α₁，α₂，α₃)可逆．由于AP=A(α₁，α₂，α₃)=(一α₁，α₂，α₂+α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*]等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P^-1，可得[*]

解析

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考研数学二

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(2008年试题，23)设A为三阶矩阵α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求-1PAP．

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