2. 考研
  3. (2008年试题，23)设A为三阶矩阵α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求-1PAP．

(2008年试题，23)设A为三阶矩阵α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求-1PAP．

admin2019-03-08  94
问题 (2008年试题，23)设A为三阶矩阵α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求-1PAP．
选项
答案(I)假α1，α2，α3线性相关，则α3可由α1,α2线性表出，可设α3=k3α1+k2α2其中后k1，k2不全为0，否则由等式Aα3=α2+α3得到α2=0，不符合题设．因为α1，α2为矩阵A的分别属于特征值一1，1的特征向量，所以α1，α2相互独立，且有Aα1=一α1，Aα2=α2，则A％=A(k1α1+k2α2)=一k1α1+k2α2=α2+k1α1+k2α2．又α1，α2相互独立，等式中α1，α2的对应系数相等，即[*]显然此方程组无解．故假设不成立，从而可知α1，α2，α3线性无关．(Ⅱ)因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=(α1，α2，α3)可逆．由于AP=A(α1，α2，α3)=(一α1，α2，α2+α3)=(α1，α2，α3)[*]等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P-1，可得[*]
解析
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考研数学二

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