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  3. 设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属λ1，λ2的特征向量。证明：x1+x2不是A的特征向量。

设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属λ1，λ2的特征向量。证明：x1+x2不是A的特征向量。

admin2015-09-14  51
问题 设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属λ1，λ2的特征向量。证明：x1+x2不是A的特征向量。
选项
答案用反证法。设x1+x2为方阵A的属于特征值λ0，的特征向量，则有 A(x1+x2)=λ0 (x1+x2) 或Ax1+Ax2=λ0 x1+λ0 x2 由已知，有Axi=λi x 2 (i=1，2)，于是有 λ1 x 1+λ2 x i=λ0 x1+λ0 x 2 即(λ1一λ0) x1+(λ2一λ0) x 2=0 因为x1、x2分别是属于不同特征值的特征向量，故x1与x2线性无关，因此由上式得 λ1—λ0=0，λ2一λ0=0 于是得λ1=λ0=λ2，这与λ1≠λ2矛盾，所以x1+x2不是A的特征向量。
解析 本题主要考查特征值和特征向量的概念及性质。本题证明的关键是利用“属于互不相同特征值的特征向量必线性无关”这一重要性质。本题直接来证明是有困难的，用反证法就可建立x1和x2的线性关系式，从而由上述性质推出矛盾。
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考研数学三

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