设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (1)r(A)≤2 (2)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

admin2019-06-30 20

问题设α，β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置，证明：
(1)r(A)≤2 (2)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

选项

答案(1)因为α，β为3维列向量，那么αα^T，ββ^T都是3阶矩阵，且r(αα^T)≤1 r(ββ^T)≤1，故r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2 (2)若α，β线性相关，在存在不全为0的实数k₁，k₂，使得k₁α+k₂β=0。不妨设k₂≠0，则有β=kα，那么r(A)=r[αα^T+(kα)(kα)^T]=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤1＜2。

解析

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