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  3. 设α1，α2，…，αn－1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn－1正交，则( )

设α1，α2，…，αn－1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn－1正交，则( )

admin2019-12-06  11
问题 设α1，α2，…，αn－1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn－1正交，则(     )
选项 A、α1，α2，…，αn－1，β1必线性相关
B、α1，α2，…，αn－1，β1，β2必线性无关
C、β1，β2必线性相关
D、β1，β2必线性无关
答案C
解析 由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错。
若αi(i＝1，2，…，n－1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β1是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β2是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α1，α2，…，αn－1，β1线性无关，β2＝2β1，所以选项A和D错误。
下证C选项正确：
因α1，α2，…，αn－1，β1，β2必线性相关，所以存在n＋1个不全为零的常数k1，k2，…，kn－1，l1，l2，使k1α1＋k2α2＋…＋kn－1αn－1＋l1β1＋l2β2＝0，又因为α1，α2，…，αn－1线性无关，所以l1，l2一定不全为零，否则α1，α2，…，αn－1线性相关，产生矛盾。
在上式两端分别与β1，β2作内积，有
(l1β1＋l2β2，β1)＝0，    (1)
(l1β1＋l2β2，β2)＝0，    (2)
联立两式，l1×(1)＋l2×(2)可得
(l1β1＋l2β2，l1β1＋l2β2)＝0，
从而可得 l1β1＋l2β2＝0，
故β1，β2必线性相关。
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考研数学二

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