设f(x)在区间[a,b]上可导,且f(a)=f(b)=0,证明:至少存在一点ε∈(a,b),使得f’(ε)+3ε2f(e)=0.

admin2016-03-01  28

问题 设f(x)在区间[a,b]上可导,且f(a)=f(b)=0,证明:至少存在一点ε∈(a,b),使得f’(ε)+3ε2f(e)=0.

选项

答案设 F(x)=exf(x),则F(x)在f[a,b]上连续,(a,b)内可导,且F(a)=eaf(a)=0,f(a)=eb.f(b)=0由罗尔定理可知,至少存在点ε∈(a,b),使得F’(ε)=0,即F’(t)=ex2f’(ε)+ex2f’(ε).3ε2=0而ex2≠0,故f’(e)+3ε2f(ε)=0.

解析
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