设n元线性方程组AX=b，其中矩阵 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值，该方程组有唯一解，并求x1．

admin2020-09-29 53

问题设n元线性方程组AX=b，其中矩阵

(1)证明行列式|A|=(n+1)aⁿ．
(2)当a为何值，该方程组有唯一解，并求x₁．

选项

答案(1)首先考虑用归纳法证明D₂=(n+1)aⁿ．当n=2时，D₂=[*]=3a²，结论成立；假设n≤k时结论成立，即D_k=(k+1)a^k，D_k-1=ka^k-1，…，则当n=k+1时，将k+1阶行列式按照第一列展开，有D_k+1=2aD_k一a²D_k-1．根据n≤k时的假设D_k=(k+1)a^k，可得 D_k+1=2a[(k+1)a^k]一a²(ka^k-1)=(k+2)a^k+1，所以，D_n=(n+1)aⁿ对任意的n都成立． (2)根据克拉默法则，当系数行列式|A|=(n+1)aⁿ≠0时，方程组有唯一解．此时a≠0．把第一列换为常数列后，所得行列式按照第一列展开，得 [*] 于是所求解为[*]

解析

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考研数学一

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