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  3. 设n元线性方程组AX=b，其中矩阵 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值，该方程组有唯一解，并求x1．

设n元线性方程组AX=b，其中矩阵 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值，该方程组有唯一解，并求x1．

admin2020-09-29  58
问题 设n元线性方程组AX=b，其中矩阵

(1)证明行列式|A|=(n+1)an．
(2)当a为何值，该方程组有唯一解，并求x1．
选项
答案(1)首先考虑用归纳法证明D2=(n+1)an．当n=2时，D2=[*]=3a2，结论成立； 假设n≤k时结论成立，即Dk=(k+1)ak，Dk-1=kak-1，…，则当n=k+1时，将k+1阶行列式按照第一列展开，有Dk+1=2aDk一a2Dk-1． 根据n≤k时的假设Dk=(k+1)ak，可得 Dk+1=2a[(k+1)ak]一a2(kak-1)=(k+2)ak+1，所以，Dn=(n+1)an对任意的n都成立． (2)根据克拉默法则，当系数行列式|A|=(n+1)an≠0时，方程组有唯一解．此时a≠0．把第一列换为常数列后，所得行列式按照第一列展开，得 [*] 于是所求解为[*]
解析
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考研数学一

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