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设n元线性方程组AX=b,其中矩阵 (1)证明行列式|A|=(n+1)an. (2)当a为何值,该方程组有唯一解,并求x1.
设n元线性方程组AX=b,其中矩阵 (1)证明行列式|A|=(n+1)an. (2)当a为何值,该方程组有唯一解,并求x1.
admin
2020-09-29
60
问题
设n元线性方程组AX=b,其中矩阵
(1)证明行列式|A|=(n+1)a
n
.
(2)当a为何值,该方程组有唯一解,并求x
1
.
选项
答案
(1)首先考虑用归纳法证明D
2
=(n+1)a
n
.当n=2时,D
2
=[*]=3a
2
,结论成立; 假设n≤k时结论成立,即D
k
=(k+1)a
k
,D
k-1
=ka
k-1
,…,则当n=k+1时,将k+1阶行列式按照第一列展开,有D
k+1
=2aD
k
一a
2
D
k-1
. 根据n≤k时的假设D
k
=(k+1)a
k
,可得 D
k+1
=2a[(k+1)a
k
]一a
2
(ka
k-1
)=(k+2)a
k+1
,所以,D
n
=(n+1)a
n
对任意的n都成立. (2)根据克拉默法则,当系数行列式|A|=(n+1)a
n
≠0时,方程组有唯一解.此时a≠0.把第一列换为常数列后,所得行列式按照第一列展开,得 [*] 于是所求解为[*]
解析
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考研数学一
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