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n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αr可以用n维向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βs线性表示.
n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αr可以用n维向量组(Ⅱ)β1,β2,…,βs线性表示.
admin
2017-06-08
86
问题
n维向量组(Ⅰ)α
1
,α
2
,…,α
r
可以用n维向量组(Ⅱ)β
1
,β
2
,…,β
s
线性表示.
选项
A、如果(Ⅰ)线性无关,则r≤s.
B、如果(Ⅰ)线性相关,则r>s.
C、如果(Ⅱ)线性无关,则r≤s.
D、如果(Ⅱ)线性相关,则r>s.
答案
A
解析
C和D容易排除,因为(Ⅱ)的相关性显然不能决定r和s的大小关系的.
A是定理3.8的推论的逆否命题.根据该推论,当向量组(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示时,如果r>s,则(Ⅰ)线性相关.因此现在(Ⅰ)线性无关,一定有r≤s.
B则是这个推论的逆命题,是不成立的.
也可用向量组秩的性质来说明A的正确性:
由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示,有
r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s
又因为(Ⅰ)线性无关,所以r(Ⅰ)=r.于是r≤s.
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考研数学二
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