设α1,α2,α3均为n维列向量,A是n阶可逆矩阵,下列选项不正确的是( ).

admin2022-06-15  29

问题 设α1,α2,α3均为n维列向量,A是n阶可逆矩阵,下列选项不正确的是(    ).

选项 A、若α1,α2,α3线性相关,则Aα1,Aα2,Aα3线性相关
B、若α1,α2,α3线性无关,则Aα1,Aα2,Aα3线性无关
C、若Aα1,Aα2,Aα3线性无关,则α1,α2,α3线性无关
D、Aα1,Aα2,Aα3的线性相关性与α1,α2,α3的线性相关性没有关联

答案D

解析 由题设(Aα1,Aα2,Aα3)=A(α1,α2,α3),及A可逆,因此有
r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(α1,α2,α3).(*)
选项D,由(*)知,Aα1,Aα2,Aα3的线性相关性与α1,α2,α3的线性相关性有关联,该选项不正确,故选D.
选项A,由(*)知,若α1,α2,α3线性相关,则r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(α1,α2,α3)<3,因此,Aα1,Aα2,Aα3线性相关.
选项B,由(*)知,若α1,α2,α3线性无关,则r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(α1,α2,α3)=3,因此,Aα1,Aα2,Aα3线性无关.
选项C,由(*)知,若Aα1,Aα2,Aα3线性无关,则r(α1,α2,α3)=r(Aα1,Aα2,Aα3)=3,因此,α1,α2,α3线性无关.
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