2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g′(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g′(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使

admin2016-01-25  35
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g′(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使
选项
答案令 F(x)＝[f(x)－f(a)][g(b)一g(x)]． 下面对F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有 F(a)＝0，F(b)＝0． 又F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使 F′(ξ)＝0， 即 f′(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)－f(a)]g′(ξ)＝0． 由g′(ξ)≠0得到 [*]
解析 先找出辅助函数F(x)．下面用凑导数法求之．将待证等式中的ξ改为x，式
f′(x)[g(b)一g(x)]一g′(x)[f(x)－f(a)]＝0，    ②
即    [f(x)一f(a)]′[g(b)一g(x)]＋[f(x)一f(a)].[g(b)一g(x)]′＝0，
亦即    {[f(x)f(a)][g(b)一g(x)]}′＝0
因而应作    F(x)＝[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．
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考研数学三

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