设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中求正交变换x＝QY将二次型化为标准形；

admin2023-02-21 35

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝X^TAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中

求正交变换x＝QY将二次型化为标准形；

选项

答案由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3，因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝5．由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝O的解， [*] Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)，则f＝X^TAX[*]－y₁²－y₂²＋5y₃²．

解析

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考研数学一

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