2. 考研
  3. 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

admin2016-09-13  104
问题 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)．
(1)试求曲线L的方程；
(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．
选项
答案(1)设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y－y=yˊ(X－x)．令X=0，则得该切线在y轴上的截距为y－xyˊ． 由题设知[*]，则此方程可化为[*]，解之得 y+[*]=C． 由L经过点[*] 于是L方程为y+[*] (2)设第一象限内曲线y=[*]－x2在点P(x，y)处的切线方程为 Y－([*]－x2)=－2x(X－x)， 即Y=－2xX+x2+[*]．它与x轴及y轴的交点分别为[*]， 所求面积为S(x)=[*] [*]
解析
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考研数学三

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