设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有( )．

admin2013-07-05 64

问题设A为n阶实矩阵，A^T为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX=0和(Ⅱ)A^TAX=0必有( )．

选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(1)的解不是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解

答案B

解析若x_i是Ax=0的解，即Ax_i=0，显然A^TAx_i=0；若x_i是A^T=Ax=O的解，即Ax_i=0，则x_i^TAx_i=0，即(Ax_i)^T(Ax_i)=0．若Ax_i≠0，不妨设Ax_i=(b₁，b₂，…，b_n)^T，b_n≠0，则(Ax_i)^T(Ax₁)=b₁²+

>0，与(Ax_i)^T(Ax_i)=0矛盾，因而Ax_i=0，即(I)、(Ⅱ)同解．

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