2. 考研
  3. A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价： (1)(A－aE)(A－bE)=0． (2)r(A－aE)+r(A－bE)=n． (3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ－a)(λ－b)=0．

A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价： (1)(A－aE)(A－bE)=0． (2)r(A－aE)+r(A－bE)=n． (3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ－a)(λ－b)=0．

admin2017-06-08  45
问题 A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价：
(1)(A－aE)(A－bE)=0．
(2)r(A－aE)+r(A－bE)=n．
(3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ－a)(λ－b)=0．
选项
答案不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A=bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A=aE．) (1)=>(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A－aE)(A－bE)=0．得到： r(A－aE)+r(A－bE)≤n， r(A－aE)+r(A－bE)≥r((A－aE)－(A－bE))=r((b－a)E)=n， 从而r(A－aE)+r(A－bE)=n． (2)=>(3) 记ka，kb分别是a，b的重数，则有 ka≥n－r(A－aE) ① kb≥n－r(A－bE) ② 两式相加得n≥ka+kb≥n－r(A－aE)+n－r(A－bE)=n，于是其中“≥”都为”=”，从而①和②都是等式，并且ka+kb=n． ka+kb=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ－a)(λ－b)=0． ①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵． (3)=>(1) A的特征值满足(λ－a)(λ－b)=0，说明A的特征值只有a和b．设B是和A相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a或b，于是(B－aE)(B－bE)=0．而(A－aE)(A－bE)相似于(B－aE)(B－bE)，因此(A－aE)(A－bE)=0．
解析
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考研数学二

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