2. 考研
  3. 设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0， 证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ＝－1； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ＝－1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．

设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0， 证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ＝－1； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ＝－1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．

admin2016-03-16  23
问题 设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，
    证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ＝－1；
    (Ⅱ)若AB＝BA＝0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ＝－1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．
选项
答案本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法，是一道有难度的综合题． (Ⅰ)由A＋A＝0，得(A＋E)A＝0． 又A非零，从而方程组(A＋E)χ＝0有非零解，于是｜A＋E｜＝0，即｜－E－A｜＝0， 所以λ＝－1是矩阵A的特征值． 同理可证λ＝－1也是矩阵B的特征值． (Ⅱ)由ξ1是矩阵A属于λ＝－1的特征向量，即Aξ1＝ξ1． 等式两边左乘B，得BAξ1＝－Bξ1． 又BA＝0，从而BAξ1＝0ξ1，于是－Bξ1＝0ξ1，所以ξ1是矩阵B属于λ＝0的特征向量． 又ξ2是矩阵B属于λ＝－1的特征向量，由不同特征值的特征向量线性无关，得证ξ1，ξ2线性无关．
解析
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考研数学二

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