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设A,B均为n阶非零矩阵,且A2+A=0,B2+B=0, 证明:(Ⅰ)A,B有公共特征值λ=-1; (Ⅱ)若AB=BA=0,ξ1,ξ2分别是A,B属于特征值λ=-1的特征向量,则ξ1,ξ2线性无关.
设A,B均为n阶非零矩阵,且A2+A=0,B2+B=0, 证明:(Ⅰ)A,B有公共特征值λ=-1; (Ⅱ)若AB=BA=0,ξ1,ξ2分别是A,B属于特征值λ=-1的特征向量,则ξ1,ξ2线性无关.
admin
2016-03-16
20
问题
设A,B均为n阶非零矩阵,且A
2
+A=0,B
2
+B=0,
证明:(Ⅰ)A,B有公共特征值λ=-1;
(Ⅱ)若AB=BA=0,ξ
1
,ξ
2
分别是A,B属于特征值λ=-1的特征向量,则ξ
1
,ξ
2
线性无关.
选项
答案
本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法,是一道有难度的综合题. (Ⅰ)由A+A=0,得(A+E)A=0. 又A非零,从而方程组(A+E)χ=0有非零解,于是|A+E|=0,即|-E-A|=0, 所以λ=-1是矩阵A的特征值. 同理可证λ=-1也是矩阵B的特征值. (Ⅱ)由ξ
1
是矩阵A属于λ=-1的特征向量,即Aξ
1
=ξ
1
. 等式两边左乘B,得BAξ
1
=-Bξ
1
. 又BA=0,从而BAξ
1
=0ξ
1
,于是-Bξ
1
=0ξ
1
,所以ξ
1
是矩阵B属于λ=0的特征向量. 又ξ
2
是矩阵B属于λ=-1的特征向量,由不同特征值的特征向量线性无关,得证ξ
1
,ξ
2
线性无关.
解析
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0
考研数学二
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