设矩阵A的伴随矩阵为A*=，且ABA－1=BA－1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

admin2022-06-08 13

问题设矩阵A的伴随矩阵为A^*=

，且ABA^－1=BA^－1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．

选项

答案解法1用A^*=|A|A^－1替换等式中的A^－1．由|A^*|=|A|^4－1=|A|³=8，得|A|=2．将等式两边左乘A^－1，右乘A，有 B=A^－1B+3E=1／2A^*B+3E，即(2E－A^*)B=6E．又2E－A^*可逆，于是 B=6(2E－A^*)^－1，由 (2E－A^*)^－1 [*] 因此 [*] 解法2由AA^*=|A|E得A=|A|(A^*)^－1．由|A^*|=|A|^4－1=|A|³=8，得|A|=2．故 A=|A|(A^*)^－1 [*] 可知A－E为可逆矩阵．将等式整理得(A－E)BA^－1=3E，有JB=3(A－E)^－1A，又(A－E)^－1 [*] 因此 [*]

解析

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