2. 考研
  3. 设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是

设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是

admin2017-04-24  54
问题 设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是
选项 A、若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．
B、若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．
C、若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．
D、若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．
答案A
解析 (Ⅰ)4个3维向量β1，β2，β3，αi线性相关(i=1，2，3)，若β1，β2，β4线性无关，则αi可由β1，β2，β3线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是β1，β2，β3线性相关，从而0=|β1，β2，β3|=
于是a=5．此时，α1不能由向量组β1，β2，β3线性表示．
考虑下列矩阵的初等行变换
[β1，β2，β3|α1，α2，α3]=
可见当a≠5时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示；当a=5时，α1，α2不能由β1，β2，β3线性表示，故a=5．
(Ⅱ)令矩阵A=[α1，α2，α3|β1，β2，β3]，对A施行初等行变换

从而，β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2一2α3．
注释  本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算．
注意，3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基，从而可线性表示任一3维向量，由此立即可知题给的向量组β1，β2，β3线性相关，于是由矩阵[β1，β2，β3]的秩小于3或行列式|β1，β2，β3|=0，便可求出a来．
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考研数学二

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