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设向量组I:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示.下列命题正确的是
设向量组I:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示.下列命题正确的是
admin
2017-04-24
68
问题
设向量组I:α
1
,α
2
,…,α
r
可由向量组Ⅱ:β
1
,β
2
,…,β
s
线性表示.下列命题正确的是
选项
A、若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s.
B、若向量组Ⅰ线性无关,则r>s.
C、若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.
D、若向量组Ⅱ线性无关,则r>s.
答案
A
解析
(Ⅰ)4个3维向量β
1
,β
2
,β
3
,α
i
线性相关(i=1,2,3),若β
1
,β
2
,β
4
线性无关,则α
i
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示(i=1,2,3),这与题设矛盾,于是β
1
,β
2
,β
3
线性相关,从而0=|β
1
,β
2
,β
3
|=
于是a=5.此时,α
1
不能由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示.
考虑下列矩阵的初等行变换
[β
1
,β
2
,β
3
|α
1
,α
2
,α
3
]=
可见当a≠5时,α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示;当a=5时,α
1
,α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故a=5.
(Ⅱ)令矩阵A=[α
1
,α
2
,α
3
|β
1
,β
2
,β
3
],对A施行初等行变换
从而,β
1
=2α
1
+4α
2
一α
3
,β
2
=α
1
+2α
2
,β
3
=5α
1
+10α
2
一2α
3
.
注释 本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算.
注意,3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基,从而可线性表示任一3维向量,由此立即可知题给的向量组β
1
,β
2
,β
3
线性相关,于是由矩阵[β
1
,β
2
,β
3
]的秩小于3或行列式|β
1
,β
2
,β
3
|=0,便可求出a来.
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考研数学二
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