设向量组I:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示.下列命题正确的是

admin2017-04-24  41

问题 设向量组I:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示.下列命题正确的是

选项 A、若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s.
B、若向量组Ⅰ线性无关,则r>s.
C、若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.
D、若向量组Ⅱ线性无关,则r>s.

答案A

解析 (Ⅰ)4个3维向量β1,β2,β3,αi线性相关(i=1,2,3),若β1,β2,β4线性无关,则αi可由β1,β2,β3线性表示(i=1,2,3),这与题设矛盾,于是β1,β2,β3线性相关,从而0=|β1,β2,β3|=
于是a=5.此时,α1不能由向量组β1,β2,β3线性表示.
考虑下列矩阵的初等行变换
1,β2,β31,α2,α3]=
可见当a≠5时,α1,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示;当a=5时,α1,α2不能由β1,β2,β3线性表示,故a=5.
(Ⅱ)令矩阵A=[α1,α2,α31,β2,β3],对A施行初等行变换

从而,β1=2α1+4α2一α3,β21+2α2,β3=5α1+10α2一2α3
注释  本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算.
注意,3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基,从而可线性表示任一3维向量,由此立即可知题给的向量组β1,β2,β3线性相关,于是由矩阵[β1,β2,β3]的秩小于3或行列式|β1,β2,β3|=0,便可求出a来.
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