设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是

admin2017-04-24 73

问题设向量组I：α₁，α₂，…，α_r可由向量组Ⅱ：β₁，β₂，…，β_s线性表示．下列命题正确的是

选项 A、若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．
B、若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．
C、若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．
D、若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．

答案A

解析 (Ⅰ)4个3维向量β₁，β₂，β₃，α_i线性相关(i=1，2，3)，若β₁，β₂，β₄线性无关，则α_i可由β₁，β₂，β₃线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是β₁，β₂，β₃线性相关，从而0=|β₁，β₂，β₃|=

于是a=5．此时，α₁不能由向量组β₁，β₂，β₃线性表示．
考虑下列矩阵的初等行变换
[β₁，β₂，β₃|α₁，α₂，α₃]=

可见当a≠5时，α₁，α₂，α₃可由β₁，β₂，β₃线性表示；当a=5时，α₁，α₂不能由β₁，β₂，β₃线性表示，故a=5．
(Ⅱ)令矩阵A=[α₁，α₂，α₃|β₁，β₂，β₃]，对A施行初等行变换

从而，β₁=2α₁+4α₂一α₃，β₂=α₁+2α₂，β₃=5α₁+10α₂一2α₃．
注释本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算．
注意，3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基，从而可线性表示任一3维向量，由此立即可知题给的向量组β₁，β₂，β₃线性相关，于是由矩阵[β₁，β₂，β₃]的秩小于3或行列式|β₁，β₂，β₃|=0，便可求出a来．

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考研数学二

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考研数学二

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