设函数y(x)在(一∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是Y=y(x)的反函数．求解变换后的微分方程的通解．

admin2014-02-06 118

问题设函数y(x)在(一∞，+∞)内有二阶导数，且y^’≠0，x=x(y)是Y=y(x)的反函数．
求解变换后的微分方程的通解．

选项

答案y^’’一y=sinx对应齐次方程y^’’一y=0的特征根为r=±1，因此对应齐次方程通解为y=c₁e^x+c₂e^-x．在y^’’一y=sinx中，由于r=i不是相应齐次方程的特征根，因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解，将其代入y^’’一y=sinx中，可得[*]，因而方程y^’’一y=sinx有特解y^*=[*]故方程y^’’一y=sinx的通解为[*]

解析本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出

之间的联系，再代入方程使之简化，从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解．

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考研数学三

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