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  3. （2011年真题）若方程x-elnx-k=0在(0，1]上有解，则k的最小值为[ ]。

（2011年真题）若方程x-elnx-k=0在(0，1]上有解，则k的最小值为[ ]。

admin2015-04-14  30
问题 （2011年真题）若方程x-elnx-k=0在(0，1]上有解，则k的最小值为[     ]。
选项 A、-1
B、
C、1
D、e
答案C
解析 本题考查极限的保号性，利用函数单调性及连续函数的零点存在问题讨论一般方程根的存在性。记f(x)=x-elnx-是，则f’(x)=1-＜0，x∈(0，1]，这表明f(x)在(0，1]内单调递减，因而它在(0，1]内最多只有一个零点。又=+∞，由极限的保号性，存在r，0＜r＜1，使得f(r)＞0，f(x)在[r，1]上连续，f(r)＞0，f(1)=1-k。当f(1)=1-k=0，即k=1时，x=1是f(x)的一个零点，即x=1是方程x-elnx-k=0的一个解。当f(1)=1-k＜0，即k＞1时，由在闭区间上连续函数的零点存在定理，函数f(x)在(r，1)(0，1)内有一个零点，即方程x-elnx-k=0在(0，1)内有一个解。当f(1)=1-k＞0时，在(0，1]上f(x)＞0，这时方程x-elnx-k=0在(0，1]内没有解，因此，如果方程x-elnx-k=0在(0，1]上有解，则k的最小值为1。故正确选项为C。
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