设区域Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成的立体，则积分I=(x2+y2)dv=________．

admin2022-07-21 44

问题设区域Ω是由圆锥面x²+y²=z²和平面z=1围成的立体，则积分I=

(x²+y²)dv=________．

选项

答案π/10

解析方法一圆锥面方程x²+y²=z²可化为z=ρ．将Ω投影xOy平面内，得圆域D：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，在D内任取一点，作平行于z轴的直线交Ω于上下两个曲面，ρ≤z≤1，故Ω表示为：Ω：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，ρ≤z≤1，于是
I=

(x²+y²)dv=∫₀^2πdθ∫₀¹ρ³dρ∫_ρ¹dz=2π∫₀¹ρ³(1-ρ)dρ=π/10
方法二将Ω投影xOy平面内，得圆域，故0≤θ≤2π，在[0，2π]内任取一角，作过z轴的半平面交Ω，故φ的取值范围[0，π/4]，再在[0，π/4]内任取一角，作从原点出发的射线，穿进r=0，穿出r=1/cosφ，可得0≤r≤1/cosφ，于是区域Ω可表示为Ω：0≤θ≤2π，0≤φ≤π/4，0≤r≤4/cosφ，故
I=

(x²+y²)dv=∫₀^2πdθ∫₀^π/4dφ∫₀^1/cosφr²sin²φr²sinφdr=

∫₀^π/4tan³φ·sec²φdρ=π/10
方法三做平行于xOy坐标面的平面截空间区域Ω所得的平面区域D_z，于是
I=

(x²+y²)dv=∫₀¹dz

(x²+y²)dxdy=∫₀¹dz∫₀^2πdθ∫₀^zρ³dρ=π/10

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考研数学二

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