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设区域Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成的立体,则积分I=(x2+y2)dv=________.
设区域Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成的立体,则积分I=(x2+y2)dv=________.
admin
2022-07-21
48
问题
设区域Ω是由圆锥面x
2
+y
2
=z
2
和平面z=1围成的立体,则积分I=
(x
2
+y
2
)dv=________.
选项
答案
π/10
解析
方法一 圆锥面方程x
2
+y
2
=z
2
可化为z=ρ.将Ω投影xOy平面内,得圆域D:0≤θ≤2π,0≤ρ≤1,在D内任取一点,作平行于z轴的直线交Ω于上下两个曲面,ρ≤z≤1,故Ω表示为:Ω:0≤θ≤2π,0≤ρ≤1,ρ≤z≤1,于是
I=
(x
2
+y
2
)dv=∫
0
2π
dθ∫
0
1
ρ
3
dρ∫
ρ
1
dz=2π∫
0
1
ρ
3
(1-ρ)dρ=π/10
方法二 将Ω投影xOy平面内,得圆域,故0≤θ≤2π,在[0,2π]内任取一角,作过z轴的半平面交Ω,故φ的取值范围[0,π/4],再在[0,π/4]内任取一角,作从原点出发的射线,穿进r=0,穿出r=1/cosφ,可得0≤r≤1/cosφ,于是区域Ω可表示为Ω:0≤θ≤2π,0≤φ≤π/4,0≤r≤4/cosφ,故
I=
(x
2
+y
2
)dv=∫
0
2π
dθ∫
0
π/4
dφ∫
0
1/cosφ
r
2
sin
2
φr
2
sinφdr=
∫
0
π/4
tan
3
φ·sec
2
φdρ=π/10
方法三 做平行于xOy坐标面的平面截空间区域Ω所得的平面区域D
z
,于是
I=
(x
2
+y
2
)dv=∫
0
1
dz
(x
2
+y
2
)dxdy=∫
0
1
dz∫
0
2π
dθ∫
0
z
ρ
3
dρ=π/10
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考研数学二
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