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设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得Ak=0.证明:A不可以对角化.
设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得Ak=0.证明:A不可以对角化.
admin
2022-11-08
38
问题
设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得A
k
=0.证明:A不可以对角化.
选项
答案
令AX=λX(X≠0),则有A
k
X=λ
k
X,因为A
k
=0,所以λ
k
X=0,注意到X≠0,故λ
k
=0,从而λ=0,即矩阵A只有特征值0.因为r(0E-A)=r(A)≥1,所以方程组(0E-A)X=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量,故矩阵A不可对角化.
解析
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考研数学三
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