欧几里得几何系统的第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立? Ⅰ．在同一平面上，过

admin2010-02-14 22

问题欧几里得几何系统的第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立? Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可能无法作一条直线与该直线平行。 Ⅱ．在同一平面上，过直线外一点作多条直线与该直线平行是可能的。 Ⅲ．在同一平面上，如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，那么，也可能无法只作一条直线与该直线平行。

选项 A、只有Ⅰ。
B、只有Ⅱ。
C、只有Ⅲ。
D、只有Ⅰ和Ⅱ。
E、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

答案C

解析令p表示“过直线外一点可以作一条直线与该直线平行”，q表示“过直线外一点只可以作一条直线与该直线平行”。第五公理是“p并且q”。
要质疑它，即并非“p并且q”成立。
“并非(p并且q)”等值于“非p或者非q”。
Ⅰ等值于并非P。Ⅱ等值于并非q。Ⅲ等值于如果q真，则p假(这也相当于如果p真，则q假)，这等值于“非p或者非q”。要使对第五公理的怀疑成立，Ⅲ必须成立。

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